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La Quadrature du cercle

Il s’agit de construire un carré dont la surface soit égale à celle d’un cercle.
Si on choisit un cercle dont le rayon est l’unité, il faut tracer un carré dont le côté soit égal à puisque la surface du cercle est égale à .

Première Partie : Construction géométrique du nombre d’après Kochansky

• Soit un cercle de centre B et de rayon BC = 1 (unité), deux diamètres perpendiculaires AC et OJ, deux perpendiculaires en A et C au diamètre AC.

• Sur la perpendiculaire à AC en C, on trace trois segments égaux
  
  CD = DE = EF = 1 (unité)
  

• Un arc de cercle de centre J, rayon JB = 1 (unité), coupe le cercle précédent en G et K, déterminant un côté du triangle équilatéral inscrit et par conséquence
  
  un angle (A B G) = 30°
  

• BG prolongé coupe la perpendiculaire en A en H.
  
  Le segment FH est égal à
  

Démonstration :

• On trace la perpendiculaire IH à CF

• Dans le triangle ABH    tg 30° = AH/AB= 0,57735 (AB = 1 unité)

• Dans le triangle rectangle HIF,   HI = AC = 2 unités

• IF = CF – CI et CI = AH =  0.57735

• HI² +IF² = HF² (IF = 3 – 0.57735)

• HF² = 4 + (3 – 0.57735)²

• Soit : HF = 9,86923

• HF = 3,141533

Deuxième partie : construction géométrique de

• Soit FH = , on prolonge FH en M tel que HM = 1 (unité)

• Soit Q milieu de MF

• Un arc de cercle MLF (centre Q)

• Une perpendiculaire  à HF élevée en H coupe l’arc de cercle en L,
  
  LH =
  

Démonstration :

Les triangles MFL et LHM sont rectangles et semblables : LH/HM = FH/LH

En conséquence :

• LH² = HM *FH, HM = 1 (unité)

• LH²= FH =

• LH  = 

Conclusion :

La surface du carré LPNH dont le côté est égal àest proche de la surface égale àdu cercle de centre H et de rayon HM = 1.

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